Главная страница
 
 

УЧЕБНЫЕ
МАТЕРИАЛЫ

ПРОГРАММА
КУРСА

КОНСПЕКТЫ
ЛЕКЦИЙ  

ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ

ВОПРОСЫ К
ЗАЧЁТУ

РЕКОМЕНДУЕМАЯ
ЛИТЕРАТУРА

Матричные операции
в MS Excel

 
Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Материалы к лекционному курсу

Лектор – ст. преп. Щербаков И.Н.

Задачи, сводимые к решению систем линейных уравнений
Свойства смесей веществ

К решению систем линейных уравнений сводятся многие химические задачи. В частности, когда рассматриваются свойства смесей компонентов, имеющие аддитивный характер. Вот несколько примеров. Известно, что светопоглощение вещества в растворе описывается законом Бугера-Ламберта-Бера:

где D_λ – это оптическая плотность раствора при длине волны света λ, с – молярная концентрация вещества в растворе, l – толщина слоя раствора, через который проходит свет, эпсилон – молярный коэффициент светопоглощения (молярный коэффициент экстинкции), зависящий от длины волны падающего света.

Если в растворе поглощает несколько веществ, то оптические плотности веществ складываются (оптическая плотность – аддитивное свойство). Обозначим через D_ij оптическую плотность, которую имеет j-й компонент раствора при длине световой волны λ_i (ε_ij – молярный коэффициент светопоглощения j-го компонента раствора при длине световой волны λ_i)

Тогда общая оптическая плотность раствора при длине световой волны λ_i (D_i) будет равна сумме по всем M компонентам:

 Если измерить оптическую плотность раствора на M различных длинах волн, то можно получить систему из M линейных уравнений с M неизвестными концентрациями и использовать ее для их расчета.

Матрицу коэффициентов образуют значения молярной экстинкции каждого из компонента на всех длинах волн, а вектор-столбец свободных членов – отношения общего светопоглощения растовров при различных длинах волн к длине кюветы:

Другой пример – масс-спектрометрическое определение состава смеси газов по интенсивности пиков Метод масс-спектроскопии основан на ударной ионизации молекул вещества и наблюдению за отклонением потока ионизированных частиц в электрическом поле. Ионизированные частицы отклоняются в соответствии с величиной где m - масса иона, e – его заряд. Для каждого вещества состав и соотношение продуктов ионизации индивидуален (так же как и оптический спектр вещества). Абсолютная высота i-го пика с определенным соотношением (интенсивность) определяется парциальным давлением газа в смеси.

S_i – есть интенсивность i-го пика в масс-спектре вещества с парциальным давлением, равным единице, этот параметр называют коэффициентом чувствительности. Для различных веществ набор пиков масс-спектра и их интенсивность  являются индивидуальными.

Если в смеси присутствуют несколько газов с разными парциальными давлениями и чувствительностями, то интенсивность пика получается суммированием вкладов от каждого из газов

Рассмотрев интенсивности М полос масс-спектра можно получить систему М линейных уравнений с М неизвестными парциальными давлениями, полностью аналогичную рассмотренному ранее примеру.

Интерполяция таблично заданной функции

Таблично заданная функция – эта функция, аналитический вид которой неизвестен, а ее значения известны лишь при некоторых дискретных значениях аргумента. Эта ситуация довольно часто встречается, например, при экспериментальном исследовании зависимости одной величины от другой (или нескольких других). В этом случае проводятся измерения зависимой переменной (значения функции) при некотором наборе фиксированных условий (независимой переменной). Таблично заданная функция F (или функция, заданная на сетке), таким образом, может быть представлена в виде таблицы значений зависимой переменной Y при дискретных значениях независимой переменной X (x₁, x₂, …,  x_n) :

y_i = F(x_i)

Совокупность значений независимой переменной {x₁., x₂, …,  x_n} называют сеткой, на которой задана функция, отдельные значения независимой переменной называют узлами сетки. Обычно предполагается, что узлы упорядочены по возрастанию:

x₁  <  x₂  <  …  < x_n

Узлы могут располагаться на произвольном расстоянии друг от друга, либо на одинаковом, в последнем случае сетка называется равномерной, а расстояние между узлами – шагом сетки h

x_i+1  -  x_i   = h  для всех  i = 1, 2, …, n-1

Задачей интерполирования является получение значений зависимой переменной в любой точке x на отрезке [x₁,  x_n], не совпадающей с узлами сетки. Решение этой задачи сводится к отысканию некоторой приближающей функции f(x), которая в некотором смысле близка к F(x), и для которой известно аналитическое выражение. При решении задачи интерполяции требуется, чтобы во всех узлах сетки значения таблично заданной и приближающей функции строго совпадали:

f(x_i) = F(x_i) = y_i     для всех  i = 1, 2, …, n-1

Простейшим способом решения задачи интерполяции является использование в качестве приближающей функции некоторой математической модели, поведение которой определяется ровно n числовыми параметрами a_i, относительно которых она линейна:

g_i(x) – произвольные функции от переменной x, не содержащие числовые параметры a_i. Исходя из требования равенства значений функции f(x) в узлах сетки можно получить n уравнений, линейных относительно параметров a_i .

В матричной форме система уравнений будет записана в следующем виде:

Решением системы уравнений будет являться вектор-столбец параметров  a_i , которые полностью определяют аналитический вид приближающей функции f(x). После этого, подставляя произвольные значения независимой переменной в найденную функцию можно рассчитать соответствующее значение зависимой переменной.

Пример:

Известны значения зависимой переменной y от x в четырех точках:

Найдите значения y при x = 5,6 и  x =3, использовав для интерполяции следующую функцию:

Решение: Число параметров интерполяционной функции совпадает с числом узлов, в которых определена функция. Сравнивая заданную модель с общим видом модели, линейной по отношению к параметрам, получим:

Составим систему линейных уравнений:

Или, в матричной форме:

После подстановки числовых значений из условия задачи, матрица коэффициентов принимает вид:

Решение системы методом обратной матрицы дает следующий вектор-столбец коэффициентов:

Таким образом, найденная интерполяционная функция записывается так:

Теперь подстановкой можно найти значения функции:

 f(5,6)=22,37007        f(3)= 20,23857

Задача решена.

Интерполирование функций полиномами

Классическим методом интерполяции таблично заданных функций является интерполяция полиномами L_m(x):

Старшая степень переменной x определяет степень полинома. Очевидно, что полином степени m полностью определяется m+1 параметром a_i. Поэтому для интерполяции функции, заданной в n узлах можно использовать полином степени m = n - 1. Сравнивая выражение для L_m(x) и общее определение для математической модели, линейной по отношению к параметрам, получим, что:

,   ... ,  ,   ...    , 

Система линейных уравнений в матричной форме примет следующий вид:

В рамках линейной алгебры доказывается, что определитель этой матрицы (он называется определителем Вандермонда) отличен от нуля, если все x_i различны, поэтому система уравнений будет иметь единственное решение.

Интерполирование полиномами помимо самостоятельной ценности в качестве инструмента решения задачи интерполирования функций, играет так же важную роль при численном решении многих других математических других задач, например, вычислении определенных интегралов, решении обыкновенных дифференциальных уравнений и многих других.

В начало страницы